В. А. Успенский

Андрей Николаевич Колмогоров —
великий ученый России

При имени Пушкина тотчас осеняет мысль о русском национальном поэте. В самом деле, никто из поэтов наших не выше его <...> Пушкин есть яв­ление чрезвычайное <...>.

Н. В. Гоголь. «Несколько слов о Пушкине»

I

Если в вынесенном в эпиграф высказывании Гоголя о Пушкине заменить «поэт» на «ученый», а «Пушкин» на «Колмогоров», мы получим удивительно точную характеристику Колмогорова. В Колмогорове все чрезвычайно. Чрезвычайна многомерность охвата знаний. Чрезвычайны воплощавшиеся в действия представления о научной этике. Чрезвычайно стремление к са­мосовершенствованию, к созиданию себя как личности, гармонически развитой как духовно, так и телесно. Последние годы физической неподвижности и телесной немощи были поэтому для него особенно мучительны.

Телесная культура была такой же неотъемлемой частью внутреннего ми­ра Колмогорова, как поэзия и музыка, как архитектура, живопись и другие виды пластических искусств. Мало сказать, что он имел обширные и глубокие знания в каждой из этих художественных сфер. В стихах и музыкаль­ных произведениях, зданиях, картинах и скульптурах он видел необходимые условия нормального человеческого бытия, своего рода синхронизаторы или, может быть, лучше сказать, гармонизаторы эмоционального статуса человека. Колмогоров отчетливо ощущал наличие основы «культура» в примелькавшемся словообразовании «физкультура» и с несомненностью считал физическую культуру (именно физическую культуру, а не спорт) необходимым компонентом человеческой культуры вообще.

Состязательным спортом Колмогоров, по его собственным словам, не за­нимался никогда. Физическим же упражнениям он уделял, пожалуй, не меньше внимания, чем математическим занятиям, и приобщал к ним своих учеников. «За несколько дней до своего шестидесятилетия, 14 апреля, Анд­рей Николаевич вместе со своими учениками совершил пятичасовое лыж­ное путешествие по снегу, воде и земле, после чего выкупался в снегу» [3]. А за месяц до своего семидесятилетия, в марте 1973 года, Андрей Николае­вич купался в горном озере Севан, разложив одежду на заснеженных кам­нях (чему свидетель автор этих строк). Ближе к восьмидесяти годам, теряя зрение, Колмогоров мучился не столько тем, что ему становится труднее читать, сколько тем, что перестает видеть лыжню.

II

В применении к познавательной деятельности Колмогорова выше было употреблено слово «многомерность». Действительно, здесь можно выде­лить как бы три измерения: широту, глубину и высоту.

Широта научных интересов и занятий Колмогорова имеет мало преце­дентов в XX веке — если вообще имеет таковые. Их спектр простирается от метеорологии (к примеру, Колмогоров был почетным членом Американ­ского метеорологического общества) до теории стиха (список опубликован­ных стиховедческих работ Колмогорова насчитывает 11 наименований[1], и их высоко ценили такие видные филологи, как В. М. Жирмунский и Р. О. Якобсон; сам же Колмогоров выступал официальным оппонентом по стихо­ведческой докторской диссертации М. Л. Гаспарова, ныне академика).

К какой бы области знания ни прикоснулся Колмогоров, она, эта об­ласть, получала новый импульс развития и уже больше не могла изучаться без учета колмогоровского вклада в нее.

В своих ранних, еще студенческих работах Колмогоров проявил себя как историк (см. об этом [41], [42]). Его увлекла история Новгорода. Работая в семинаре, который вел в Московском университете видный историк С. В. Бахрушин, он занялся анализом землевладения в Новгородской земле в XV веке. Cвои исторические исследования Колмогоров начал в возрасте сем­надцати с половиной лет и закончил, когда ему было неполных девятна­дцать. Полагали, что результаты этих исследований безвозвратно утеряны; однако после кончины Колмогорова среди его многочисленных бумаг были найдены и его рукописи по истории. Выступая 15 декабря 1989 г. в москов­ском Доме ученых на вечере памяти А. Н. Колмогорова, известный исто­рик, ныне академик В. Л. Янин указал, что эти юношеские работы занима­ют в исторической науке место, до которого развитие этой науки еще не до­шло. Сейчас эти колмогоровские рукописи опубликованы (см. [12]).

Известный лингвист, профессор Московского университета П. С. Кузне­цов писал в своих воспоминаниях, что Колмогоров, «который еще будучи студентом занимался историей <...> и который вместе с тем <...> путешест­вовал по Пинеге и в ее верховьях, высказал предположение, что колониза­ция в верховья Пинеги шла с Северной Двины (от Верхней Тоймы) на вос­ток через водораздел, а не по реке от впадения ее в Двину. Если так, то гра­ница Восточной и Поморской группы северорусских говоров должна была проходить севернее, чем предположительно проведена на карте МДК (Мос­ковской диалектологической комиссии.— В. У.), и верховья Пинеги долж­ны входить в Восточную группу. Оказалось, что так и есть» [29, c. 207].

Откроем известную хрестоматию ван Хейеноорта «От Фреге до Гёделя» [49]. Хрестоматия входит в серию, каждая из книг которой представляет со­бой «собрание статей, определивших структуру той или иной науки» [49, c. V]. Данная хрестоматия посвящена математической логике. Мы находим в ней английский перевод [45] статьи двадцатидвухлетнего Колмогорова [13] — статьи, охарактеризованной ван Хейеноортом как «первое система­тическое изучение интуиционистской логики» [49, c. VII]. Действительно, в этой статье интуиционистская логика впервые сделана предметом матема­тического исследования. К сказанному можно добавить, что эта статья была также первой отечественной статьей по логике, содержащей собственно ма­тематические результаты. (Здесь уместно упомянуть, что с 1 января 1980 г. и до конца своих дней А. Н. Колмогоров состоял заведующим кафедрой ма­тематической логики Московского университета; подробнее о роли Колмо­горова в развитии математической логики см. [48].)

Возьмем теперь в руки известную монографию Абрахама и Марсдена «Основания механики» [43]. Галерея портретов крупнейших ученых в об­ласти классической механики, открывающаяся портретом Архимеда, вклю­чает и портрет Колмогорова. А его доклад «Общая теория динамических систем и классическая механика» на Международном математическом кон­грессе 1954 г. в Амстердаме [17] охарактеризован как важная историческая веха в развитии науки и потому полностью воспроизведен в монографии в виде специального приложения [46]. И это при том, что классическая меха­ника составляла лишь часть интересов Колмогорова в области механики — он внес также выдающийся вклад в аэрогидродинамику. «Общее число опубликованных А. Н. Колмогоровым статей по механике турбулентных те­чений жидкостей и газов сравнительно невелико, и ни одна из них не зани­мает много места. Однако эти несколько небольших статей совершенно преобразили лицо современной теории турбулентности и оказали огромное влияние и на все дальнейшее развитие указанной теории, и на постановку экспериментальных исследований широких классов турбулентных течений» [40].

Необычайную широту (и одновременно практическую направленность!) интересов Колмогорова ярко иллюстрирует его письмо в журнал «Строи­тельство Москвы», посвященное проблеме транспортных развязок [14].

III

Все же основной сферой деятельности А. Н. Колмогорова была, конечно, математика. Колмогоров — один из великих математиков XX века. «Всем нам, общавшимся с кругом ученых всего мира, было хорошо известно, что Колмогорова большинство считало крупнейшим математиком своего вре­мени»,— отмечает президент Московского математического общества ака­демик С. П. Новиков [31].

Теория множеств, где он заложил основы теории операций над мно­жествами; теория функций, где студенческая работа [44] девятнадцати­летнего автора, устанавливающая существование почти всюду расходяще­гося ряда Фурье, сразу сделала его известным всему математическому ми­ру; математическая логика, где Колмогоров предложил свободное от идеологических установок интуиционизма понимание интуиционистской семантики; топология, где он разделяет с Дж. У. Александером[2] авторство теории когомологий; теория информации, в которой ему принадлежит не только существенная роль в превращении этой теории (сформулированной ее создателем К. Э. Шенноном[3] в виде скорее технической дисциплины) в строгую математическую науку, но и построение оснований теории инфор­мации на принципиально ином, отличном от шенноновского фундаменте; теория динамических систем, где он является первым из трех основопо­ложников теории КАМ[4] (открывающие эту теорию работы Колмогорова составили его вклад в классическую механику, о котором говорилось вы­ше); теория алгоритмов, где ему принадлежит определение общего поня­тия алгоритма и создание теории сложности конструктивных объектов; и, конечно, теория вероятностей, где он был признанным главой этой науки во всем мире, «живым воплощением математической теории вероятнос­тей», как писала английская газета «Таймс» 26 октября 1987 г. в связи с его кончиной,— вот краткий перечень областей математики, в которых Колмо­горов оставил глубокий след. Перечень этот не может претендовать на пол­ноту: к примеру, мы даже не назвали математическую статистику (ср. [23]). Не являются ни в какой степени исчерпывающими и наши упомина­ния о достижениях Колмогорова в перечисленных областях[5]. Так, в мате­матической логике он внес также выдающийся вклад в теорию доказа­тельств; в теории функций — в решение тринадцатой проблемы Гильберта (об этом ниже) и в развитие теории приближений; в топологии — в учение об отображениях, повышающих размерность пространства; в теории дина­мических систем — в развитие так называемой эргодической теории, куда он, во-первых, достаточно неожиданно сумел внести и успешно применить идеи теории информации и где он, во-вторых, тоже достаточно неожидан­но, по существу открыл новое направление, оказавшееся плодотворным для современной физики.

IV

Здесь мы подходим к следующему измерению творчества Колмогорова — его глубине.

Во всем мне хочется дойти

До самой сути,—

сказал в 1956 году старший современник Колмогорова великий русский по­эт Борис Пастернак. Можно усмотреть черты сходства между Пастернаком и Колмогоровым. Сходство это не исчерпывается тем, что каждый занимал первенствующее положение в своей области — один в поэзии, другой в на­уке — и имел право на титул «великий». Были отдельные черты и внешнего сходства (включающие и похожие фонетические особенности, с характер­ным «мычанием»), и сходства внутреннего. Так, обоим были свойственны демократизм в общении и охотная готовность к физическому труду. Но прежде всего их делало похожими желание «дойти до сути».

Колмогоров всегда стремился проникнуть вглубь предмета, выделить основные понятия. Его главная монография, определившая пути развития теории вероятностей, называется характерно — «Основные поня­тия (разрядка моя.— В. У.) теории вероятностей». Отображающие эти понятия символы (W, F, P) составили эмблему I Всемирного конгресса по математической статистике и теории вероятностей, состоявшегося в Таш­кенте в 1986 году.

Именно этот метод «дохождения до сути» позволил Колмогорову до­биться фундаментальных достижений и занять лидирующее положение во всех сферах, которым он уделял внимание. В поисках сути Колмогорову не­редко удавалось достичь очень просто формулируемых представлений, как, например, в случае с принадлежащим ему аксиоматическим построением теории вероятностей. По-видимому, им руководило естественное для боль­шого ученого убеждение, что чем более общий характер носит идея, тем бо­лее простой она, в сути своей, является и тем проще она должна быть выра­жена.

И здесь уместно снова вспомнить Пастернака, написавшего в 1931 году:

Есть в опыте больших поэтов

Черты естественности той,

Что невозможно, их изведав,

Не кончить полной немотой.

В родстве со всем, что есть, уверясь

И знаясь с будущим в быту,

Нельзя не впасть к концу, как в ересь,

В неслыханную простоту.

Но мы пощажены не будем,

Когда ее не утаим.

Она всего нужнее людям,

Но сложное понятней им.

Одним из последних по времени достижений Колмогорова было созда­ние общей теории сложности объектов, сформировавшейся ныне в отдель­ную главу современной математики (см., например, [5], [47] и [50]). Ту, что вещи бывают простые и сложные, было и есть ясно всем. Вопрос состоял в том, можно ли измерить сложность вещи числом. Колмогоров предложил называть сложностью объекта длину наикратчайшего его описания. Это колмогоровское определение (которое мы здесь привели, разумеется, в огрубленном виде) обладает отличительной чертой гениальности — оно кажется самоочевидным, но лишь после того, как высказано!

Любопытно отметить, что использование в рассуждениях представления о степени сложности описания встречается, в неявной форме, уже в упоми­навшейся студенческой работе Колмогорова о новгородском землевладе­нии. В писцовых книгах сохранились сведения о том, какой налог брался с каждого селения. Возникает вопрос, назначался ли этот налог сразу селе­нию как целому или же он складывался из налоговых обложений, назначен­ных отдельным дворам. Предшественники Колмогорова, профессиональ­ные историки, склонялись ко второму варианту ответа. Опровергая их, Кол­могоров решительно выбирает первый вариант: действительно, анализ пис­цовых книг, проведенный Колмогоровым, показывает, что при втором ва­рианте само правило налогообложения должно было бы быть чрезвычайно сложным (см. [27, c. 79–82]).

Формализация интуитивного представления о сложности объекта и легла в основу предложенного Колмогоровым алгоритмического построения оснований теории информации. В отличие от шенноновской теории, опи­рающейся на понятие вероятности, колмогоровская теория информации не использует этого понятия. Напротив, она сама позволяет изложить на но­вом языке основные законы теории вероятностей и даже дать строгое мате­матическое определение индивидуального случайного объекта (чего не в состоянии сделать традиционная теория вероятностей; замечательно и от­части парадоксально, что определение случайности индивидуального объ­екта дается в терминах алгоритмов, то есть сущностей, максимально не случайных). Не откажем себе в удовольствии процитировать самого Колмо­горова (см. с. 236 в [24]; на этой и соседних с нею страницах воспроизведе­на его знаменитая статья 1969 года «К логическим основам теории инфор­мации и теории вероятностей»):

«Предшествующее краткое изложение должно оправдать два общих те­зиса:

1) основные понятия теории информации должны и могут быть обосно­ваны без помощи обращения к теории вероятностей и так, что понятия „эн­тропия“ и „количество информации“ оказываются применимы к индивиду­альным объектам;

2) введенные таким образом понятия теории информации могут лечь в основу концепции случайного, соответствующей естественной мысли о том, что случайность есть отсутствие закономерности».

Глубину исследований Колмогорова иллюстрирует то обстоятельство, что значение предложенных им идей, понятий и методов с течением време­ни не убывает, а возрастает.

V

Многие понятия, введенные Колмогоровым, опережали свое время. (Сам Колмогоров, кстати, учил, что система понятий не менее важна, чем систе­ма результатов, и поэтому может составить предмет диссертации.) Так, в начале 1954 года им была предложена общая идея нумерации, а также по­нятие сводимости нумераций; сейчас основанная на этих представлениях теория нумераций составляет важную ветвь теории алгоритмов (см., на­пример, [9]). В языкознании заняло прочное место понятие «падежа по Колмогорову». Высказанное в тех же 50‑х годах (а придуманное, вероятно, раньше), это было первое научное определение падежа[6], и последующие научные определения так или иначе от него отправляются (см., например, [10, § 2.2]).

Стоит отметить, что и определения нумерации и сводимости нумераций, и определение падежа — как и многие другие замечательные его идеи — были изложены Колмогоровым лишь в устной форме, и притом в узком кругу[7]. Сформулировав эти фундаментальные определения («дойдя до су­ти»!), он более к этим темам не возвращался. Это стремление идти дальше, к новым идеям и областям знания, оставляя другим обживать уже завоеван­ное пространство, вообще чрезвычайно характерно для Колмого­рова.

Новаторскими были и многие предложенные Колмогоровым идеи и ме­тоды. Так, при исследовании знаменитой тринадцатой проблемы Гильберта о суперпозициях он не только установил в 1956 году возможность представ­ления любой непрерывной функции (от сколь угодно большого числа пере­менных) в виде суперпозиции непрерывных же функций трех переменных, но и выдвинул идеи, позволившие его ученику В. И. Арнольду, тогда сту­денту-третьекурснику, понизить в этом результате количество переменных с трех до двух и тем самым окончательно решить указанную проблему (причем ответ оказался противоположен тому, который ожидался самим Гильбертом). Уже в следующем, 1957 году Колмогоров усилил результат Арнольда, показав, что любую непрерывную функцию от произвольного числа переменных можно представить в виде суперпозиции непрерывных функций одного переменного и единственной функции двух переменных — функции сложения s(x, y) = x + y.

А в работах Колмогорова 1954 года по теории динамических систем (бо­лее точно — по теории возмущений условно-периодических движений) бы­ло положено начало методу КАМ (Колмогорова — Арнольда — Мозера), легшему в основу одноименной теории, — «методу, считающемуся одним из крупнейших достижений математики двадцатого века». [Эта оценка при­надлежит редакционной коллегии журнала «Успехи математических наук» (1989, т. 44, вып. 1, с. 243).]

VI

Попытаемся, насколько это позволяют рамки данного очерка, сказать и о тринадцатой проблеме Гильберта, и о методе КАМ чуть подробнее.

«Проблема Гильберта» — принятый в математике термин, означающий одну из двадцати трех проблем, сформулированных в опубликованном тексте доклада, сделанного 8 августа 1900 г. великим немецким математи­ком Давидом Гильбертом на проходившем в Париже Втором международ­ном конгрессе математиков (см. [8]). «Ни до доклада Гильберта, ни после этого доклада математики, насколько я знаю, не выступали с научными со­общениями, охватывавшими проблемы математики в целом. Таким обра­зом, доклад Гильберта оказывается вполне уникальным явлением в истории математики и в математической литературе. И сейчас, почти через 70 лет после того, как Гильберт сделал свой доклад, он сохраняет свой интерес и значение». Так в 1968 году охарактеризовал доклад Гильберта почетный президент Московского математического общества академик П. С. Алек­сандров [4]. Эта характеристика сохраняет свою силу и сегодня. Решение каждой из двадцати трех проблем Гильберта до сих пор воспринимается как событие в математике.

Формулируя свою тринадцатую проблему, Гильберт указал некоторую конкретную непрерывную (даже алгебраическую) функцию трех перемен­ных и предложил доказать, что она не представима в виде суперпозиции не­прерывных же функций двух переменных. Как мы теперь знаем, это не так.

В опубликованном тексте своего доклада Гильберт  цитирует не названного им по имени «старого французского математика», сказавшего: «Математическую теорию можно считать совершенной только тогда, когда ты сделал ее настолько ясной, что берешься изложить ее содержание первому встречному» [8, с. 14]. Руководствуясь этим принципом в качестве недосягаемого идеала и не пытаясь изложить колмого­ровскую конструкцию, попробуем пояснить, в чем состоит суть тринадцатой проб­лемы.

Функции действительного переменного можно наглядно представлять себе в виде таблиц. Разумеется, в реальности встречаются только конечные таблицы, в которых аргументы принимают конечное число значений. Однако мысленно можно вообразить и бесконечные таблицы, в которых аргументы принимают все дейст­вительные значения из какого-либо отрезка. Воображаемая таблица для функции одного переменного выглядит так: в каждой точке отрезка помещено значение функции в этой точке. Таблица для функции двух переменных, определенной на квадрате, двумерна: в каждой точке квадрата записано значение функции в этой точке. Таблица для функции трех переменных, определенной на кубе, трехмерна, она сама имеет форму куба. Таблица для функции n переменных, определенной на n‑мерном кубе, располагается в n‑мерном пространстве и имеет вид n‑мерного куба. В некоторых случаях n‑мерную таблицу удается свести к двумерным, а тем самым — соответствующую функцию представить в виде суперпозиции функций двух пе­ременных. «Свести» значит в данном случае следующее: заменить вычисление функции при помощи n‑мерной таблицы вычислениями, использующими только двумерные таблицы. Например, четырехмерную таблицу для функции четырех пе­ременных

w = j(x, y, z, t) = xy + z^t

можно свести к двумерным таблицам для функции u = f(x, y) = xy, v = g(z, t) = z^t, w = h(u, v) = u +v. Действительно, чтобы для значений аргументов x = a, y = b, z = c, t = d найти значение w = ab + c^d, можно, вместо того чтобы обращаться к четырех­мерной таблице для функции j, поступить так: сначала по двумерной таблице для функции f найти f(a, b), затем по двумерной таблице для функции g найти g(c, d) и, наконец, по двумерной таблице для h найти h(f(a, b), g(c, d)). Иными словами, j(x, y, z, t) = h(f(x, y), g(z, t)), так что функция j получается из функций f, g, h по­средством подстановки этих функций друг в друга. Такая подстановка функций друг в друга и называется суперпозицией.

Проблема состоит в том, всякую ли n‑мерную таблицу для непрерывной функции можно свести к двумерным таблицам для непрерывных же функций, или, другими словами, для всякой ли непрерывной функции j от n переменных можно подобрать такие непрерывные функции f, g, h и т. д. от двух переменных, что j получается из этих f, g, h и т. д. путем суперпозиции. Если не требовать от рассматриваемых функций непрерывности, то легко обнаруживается, что любую n‑мерную таблицу можно свести к двумерным. Для непрерывных функций это не очевидно. Гильберт даже полагал, что указанная им алгебраическая, а тем самым заведомо непрерывная функция трех переменных (связанная с решением уравнений седьмой степени) не допускает представления в виде суперпозиции непрерывных функций двух пере­менных (см. [8], п. 13, «Невозможность решения общего уравнения седьмой степе­ни с помощью функций, зависящих от двух аргументов»). Однако, как показал Ар­нольд, любая (а потому и та, которую указал Гильберт) непрерывная функция трех переменных, определенная на кубе, получается суперпозицией из подходящим образом подобранных функций двух переменных. А поскольку, как ранее доказал Колмогоров, любая непрерывная функция многих переменных может быть получе­на суперпозицией непрерывных функций трех переменных, то оказывается, что лю­бая непрерывная функция многих переменных может быть получена суперпозицией непрерывных функций двух переменных.

Что касается метода КАМ, то он состоит в использовании в новой обста­новке восходящего к Ньютону метода построения обратной функции путем последовательных приближений. «Новая обстановка» заключается в при­сутствии так называемых малых знаменателей (эти малые знаменатели по­являются здесь в разложении в различные ряды той функции, обратная к которой ищется). Метод КАМ играет важную роль в так называемой нели­нейной механике.

Вот что писал об этом методе в 1965 году выдающийся математик И. М. Гельфанд: «Уже давно, во всяком случае около семидесяти лет назад, после работ А. Пуанкаре, стало понятно, что лишь небольшое число задач в меха­нике поддается точному решению. Скажем, движение одной планеты во­круг Солнца можно описать точно (в той воображаемой ситуации, когда других планет не существует вовсе.— В. У.). Однако уже совместное дви­жение трех тел не допускает точного, или, как говорят математики, анали­тического решения. В некоторых случаях на помощь приходят приближен­ные методы и современные вычислительные машины. Однако с той же за­дачей трех тел не может справиться самая быстродействующая счетная ма­шина. Дело в том, что точность численного счета сильно падает, если нам необходимо следить за движением систем в течение длительного времени. А ведь, скажем, Земля совершила за время своего существования около пя­ти миллиардов оборотов вокруг Солнца, поэтому приближенные методы бессильны описать ее движение. Таким образом, и точные (аналитические) решения, и численные способы в ряде случаев не могут нам помочь, необ­ходимы какие-то общие методы качественного исследования. В трудах В. И. Арнольда и А. Н. Колмогорова разработан совершенно новый мате­матический метод. Применение его позволило им решить ряд проблем, ко­торые „не поддавались“, несмотря на усилия многих выдающихся матема­тиков, механиков и астрономов. В качестве примера можно опять-таки ука­зать на задачу трех тел. В. И. Арнольд, применяя разработанные его учите­лем А. Н. Колмогоровым методы, сумел доказать существование достаточ­но большого „массива“ устойчивых решений в этой задаче. Это исследова­ние имеет, например, прямое отношение к вопросу об устойчивости Сол­нечной системы. Новые методы оказались настолько плодотворными, что их удалось применить не только для исследования классических проблем, но и целого ряда задач, значение которых осознано только сейчас,— таких, как задача движения заряженных частиц в „магнитных ловушках“» [7].

VII

Если в применении к научным исследованиям термины «широта» и «глу­бина» достаточно привычны, то слово «высота» требует пояснений. Вот что можно разуметь здесь под высотой: расстояние между теоретическими по­строениями (расположенными как бы вверху) и практическими приложени­ями (расположенными как бы внизу). Несколько веков назад Ньютон и сам отливал и шлифовал зеркало для изобретенного им отражательного теле­скопа, и сам же формулировал гравитационные уравнения, описывающие движение наблюдаемых в этот телескоп небесных тел. Теперь, как правило, теорией занимаются одни, а практическими приложениями — другие, меж­ду теорией и приложениями — так сказать, по вертикали — несколько про­межуточных этажей, и на каждом этаже своя группа исследователей, обща­ющаяся только с соседями непосредственно сверху и непосредственно сни­зу (как выразился Ф. Дюрренматт, «обер-бухгалтеры общаются только с ви­це-обер-бухгалтерами»). Колмогоров проходит эту лестницу сам, без помо­щи промежуточных лиц, а точнее — объединяя всех промежуточных лиц в себе. Теоретические работы по аксиоматическому построению теории веро­ятностей естественно перетекают в занятия теорией стрельбы и статисти­ческим контролем качества продукции. Исследования по теоретической гидромеханике непосредственно связаны с участием в многомесячных мор­ских экспедициях для изучения океанических течений[8]. Здесь Колмогорову принадлежит открытие слоистой структуры океана (так называемых «бли­нов»). Или вот такой штрих: в монографии П. С. Александрова «Комбина­торная топология» [2] имя Колмогорова встречается дважды: на с. 483 он указан в качестве автора одной из формулировок закона двойственности, а на с. 22 — в качестве исполнителя многих чертежей.

А. Н. Колмогоров являл собою редкое соединение математика и естест­воиспытателя, теоретика и практика. И одновременно — философа науки и ее популяризатора. Колмогоров внес неоценимый вклад в методологию и историю математики, в теорию и практику ее преподавания; он — автор ря­да блестящих статей на эти темы (см., в частности, сборники [25] и [26]).

Неослабевающий интерес к проблемам оснований математики, к поис­кам оптимальных способов ее логического построения и изложения соче­тался у Колмогорова со свободным и радостным владением численными методами, с умением в нужных случаях довести решение «до числа». При обращении с числовыми массивами — таблицами, графиками и т. п.— он обладал «абсолютным зрением» и, в частности, мог углядеть в них ошибку с такой же неоспоримостью, с какой человек с абсолютным музыкальным слухом слышит фальшивую ноту.

Культуру вычислений, способность увидеть за числовыми данными об­щую, качественную картину, умение выразить эту картину в конкретных чертежах и таблицах — все эти навыки Колмогоров старался привить своим сотрудникам и студентам. И не только своим. В первой половине 50‑х го­дов — в частности, в тот период, когда он был деканом механико-матема­тического факультета МГУ (а это продолжалось с 1 ноября 1954 г. по 31 января 1958 г.),— Колмогоров потратил много творческой энергии и вре­мени на то, чтобы упорядочить математический практикум для студентов факультета и придать ему, еще до появления в университете компьютеров, подлинно вычислительный характер.

VIII

Вклад Колмогорова в дело распространения математических знаний со­вершенно уникален. Относительно его роли в школьном математическом образовании отошлем читателя к обстоятельной статье А. М. Абрамова [1]. Здесь мы ограничимся лишь двумя аспектами просветительского служения Колмогорова — издательским и ораторским.

Изданию математической литературы для самых разнообразных слоев читателей — от обычных школьников до рафинированных специалистов — Колмогоров придавал исключительное значение и сам уделял этому много сил и времени. Нет возможности перечислить все те начинания, в которых он был инициатором или принимал решающее участие. Не будем говорить сейчас о специальных математических журналах. Вспомним, что он был основателем и — с 1946 по 1952 год — первым главой редакции математи­ки и механики Издательства иностранной литературы (ныне издательство «Мир»), что вместе с физиком академиком И. К. Кикоиным он создал физи­ко-математический журнал для юношества «Квант», в котором с момента его возникновения в 1970 году и до конца своих дней руководил математи­ческим разделом. Свидетельствует многолетний главный редактор журнала «Математика в школе» Р. С. Черкасов: «В составе редакционной коллегии журнала „Математика в школе“ А. Н. Колмогоров находился официально с 1967 года. Как он пояснял позднее, он убедился, что именно журналы по­зволяли быстро и эффективно формировать необходимое для учителя новое общественное мнение и оказывать ему быструю и столь необходимую прак­тическую помощь. Трудно переоценить значение Андрея Николаевича для всей творческой жизни журнала и как члена редколлегии, относившегося к этой своей деятельности с большой ответственностью, и как автора фунда­ментальной значимости статей, инициатора постановки на обсуждение вол­нующих многих читателей вопросов» [39, c. 596].

А. Н. Колмогоров сыграл также решающую роль в формировании мате­матического раздела Большой Советской Энциклопедии. Он возглавлял этот раздел в первом (начиная с 1936 г.) и во втором (с самого начала) из­даниях БСЭ, а также лично написал большое число статей, в том числе ши­роко известную (и неоднократно потом перепечатывавшуюся) статью «Ма­тематика» для второго издания [16]. Надо полагать, он написал ряд статей и для Малой Советской Энциклопедии, но атрибуция этих статей представ­ляет немалые трудности.

IX

Устные выступления Колмогорова были весьма многочисленны, и мно­гие важные идеи были высказаны именно в них — и, к сожалению, только в них. Его лекции и доклады можно разделить на два вида: для профессиона­лов и для широкой публики. Слово «профессионалы» понимается здесь в весьма широком смысле, включающем как уже сложившихся математиков (например, членов Московского математического общества[9] и участников различных конференций и семинаров), так и еще только собирающихся стать таковыми (увлеченных математикой школьников — например, участ­ников математических олимпиад).

В выступлениях для профессионалов Колмогоров мог рассчитывать на определенный уровень подготовленности своих слушателей. Этот уровень, однако, в подавляющем большинстве случаев сильно им завышался. Его выступления поэтому были всегда очень содержательны, но, как правило, мало понятны. Бытовало мнение, что выступления Колмогорова для школь­ников с интересом и пониманием слушают аспиранты, для аспирантов — доктора наук, доклады же для докторов наук вообще не понимает никто, кроме докладчика. В этом мнении много верного. Но этот недостаток уст­ных выступлений Колмогорова, как это часто бывает, являлся продолжени­ем его же достоинств — в данном случае неизменно уважительного отно­шения к собеседнику и слушателю. В этом состояла важная этическая черта Колмогорова. Он всегда видел в собеседнике и слушателе равного себе по интеллекту (что, понятно, редко соответствовало реальности). Кто-то заме­тил, что «Колмогоров считал, что мир населен Колмогоровыми». Это, ко­нечно, было заблуждением, но заблуждением благородным: Колмогорову было в высокой степени присуще то «дворянское чувство равенства со всем живущим», о котором писал Пастернак.

Более понятными были — и пользовались небывалой популярностью — публичные лекции Колмогорова для широкой аудитории. Эти лекции чита­лись в больших залах и собирали огромное число слушателей. Особенно ве­лик был интерес к первым лекциям Колмогорова, посвященным кибернети­ческой проблематике, свободное обсуждение которой было разрешено в СССР в 1955 году. Присутствовавшие на тех лекциях помнят толпу спраши­вающих лишний билет на лекцию Колмогорова в Политехническом музее и другую толпу, не могущую вместиться в полуторатысячный Актовый зал высотного здания Московского университета, так что организаторам при­шлось устроить наружную трансляцию.

Первым из этой серии «больших» колмогоровских выступлений был его знаменитый доклад «Автоматы и жизнь», сделанный 6 апреля[10] 1961 г. на методологическом семинаре механико-математического факультета МГУ. Первоначально объявленный в аудитории 02, одной из двух самых больших учебных аудиторий высотного здания университета, он был перенесен (на­до думать, из-за наплыва публики) в расположенный в том же здании Дво­рец культуры МГУ[11]. В распространенных к докладу тезисах[12] Колмогоров задавал следующий вопрос: «Возможно ли создание искусственных живых существ, способных к размножению, прогрессивной эволюции, в высших формах обладающих эмоциями, волей и мышлением вплоть до самых тон­ких его разновидностей?» И сам же отвечал: «...важно отчетливо понимать, что в рамках материалистического мировоззрения не существует никаких состоятельных принципиальных аргументов против положительного ответа на наш вопрос»[13].

Доклад вызвал огромный резонанс и стал событием в интеллектуальной жизни Москвы. Его популярное изложение было составлено сотрудницей Колмогорова Н. Г. Рычковой на основе ее собственных записей. Предварен­ное небольшим предисловием Колмогорова, это изложение было опублико­вано в том же 1961 году журналом «Техника — молодежи» (см. [19])[14]. В начале следующего 1962 года обсуждение доклада было организовано Цен­тральным домом литераторов; оно состоялось, с участием Колмогорова, 5 января. Засим последовала лекция «Жизнь и мышление как особые формы существования материи» в московском Политехническом музее 11 января 1962 г. (это здесь спрашивали лишний билет). И далее — лекция «Киберне­тика в изучении жизни и мышления», состоявшаяся в Актовом зале высот­ного здания Московского университета 22 апреля 1964 г. (это тогда зал не мог вместить всех желающих). Содержание этих лекций отчасти отражено в [20] и [21].

Названной темой открылась серия из десяти лекций, прочитанных Кол­могоровым в Актовом зале. Вот темы и даты остальных девяти лекций:

«Теория информации», 6 января 1965 г.;

«Бесконечность в математике», 17 ноября 1965 г.;

«Современная математика в школе и на практике», 12 октября 1966 г.;

«50 лет Великого Октября и развитие математики», 4 октября 1967 г.;

«Математические структуры и реальный мир», 2 октября 1968 г.;

«Теория вероятностей (общий очерк ее истории и ее значение)», 29 октября 1969 г.;

«Математика бесконечного и финитная математика с точки зрения их примене­ний», 27 октября 1971 г.;

«Математика в изучении произведений искусства», 25 октября 1972 г.;

«Закономерность, случайность, вероятность и информация (логические основы теории вероятностей и теории информации)», 23 февраля 1977 г.

К этому списку примыкает яркая лекция «Что ожидает выбравшего мате­матику?», прочитанная 1 марта 1975 г. в Конференц-зале гуманитарных фа­культетов МГУ (некоторые подробности о ней приведены в [37, c. 306–308]).

Многочисленные выступления Колмогорова с публичными лекциями ил­люстрируют существенную черту его личности — его энергию, его актив­ность. И не просто активность. Всем, чем занимался Колмогоров, он зани­мался увлеченно.

X

Колмогоров ни в малейшей степени не соответствовал традиционному образу кабинетного ученого. Его активность была многогранна. О физичес­кой, творческой, просветительской гранях мы уже говорили. Скажем еще о грани литературной. Колмогоров был чрезвычайно плодовит как автор — и это при том, что строк, не наполненных мыслью (как правило, весьма глу­бокой), у него не было. Список его публикаций, приведенный на с. 632–687 сборника «Колмогоров в воспоминаниях» [28], насчитывает несколько сот наименований. Его жена Анна Дмитриевна Колмогорова рассказывала Р. С. Черкасову, что в более молодые годы Андрей Николаевич «печатал [на пи­шущей машинке] такое множество различных текстов, что напечатанными листками были заполнены не только столы, диван и стулья, но полностью выстлан весь пол комнаты» (см. [39, с. 596]).

Обширная педагогическая деятельность Колмогорова в качестве профес­сора Московского университета общеизвестна и не требует специальных разъяснений. Здесь он не только читал курсы лекций и вел семинары, но и учреждал новые дисциплины учебного плана, которые сам же наполнял со­держанием. Он же был и первым лектором новых курсов. Так, в сентябре 1946 г. он впервые стал читать «Анализ III», а в феврале 1972 г.— «Введе­ние в математическую логику»; именно Колмогорову оба эти предмета обя­заны своим становлением как обязательных дисциплин на механико-мате­матическом факультете. Существенная переработка учебных планов фа­культета, произведенная в 1963/64 учебном году, была основана на проекте, составленном Колмогоровым.

Прибавим работу в качестве преподавателя физико-математической шко­лы-интерната при МГУ, носящей с 1989 года его имя. (Например, в первом полугодии 1964 года его недельная нагрузка в ФМШ была такова: одна лек­ция, один кружок и восемь уроков!) Вспомним его участие в летних мате­матических школах для школьников, в проведении школьных математичес­ких олимпиад. Не упустим из виду и организаторскую деятельность Колмо­горова. Упомянутая только что школа-интернат была основана им в 1963 году. О его роли в создании журнала «Квант» и редакции издательства «Мир» мы уже говорили. Колмогоров являлся также создателем (1956 г.) и первым главным редактором журнала «Теория вероятностей и ее примене­ния». На механико-математическом факультете Московского университета он создал и первым возглавил кафедру теории вероятностей (декабрь 1935 г.), лабораторию статистических методов[15] (апрель 1963 г.[16]) и кафед­ру математической статистики (февраль 1976 г.). А Институт физики атмо­сферы РАН вырос из небольшой лаборатории  турбулентности, созданной в 1946 году по инициативе Колмогорова (и возглавлявшейся им по 1949 год) в недрах существовавшего тогда Института теоретической геофизики АН СССР, руководимого О. Ю. Шмидтом.

Как уже отмечалось, понимать Колмогорова часто бывало трудно. Сам же Колмогоров понимал всех.

Колмогоров понимал всех аспирантов всех математических специальнос­тей (являвшихся к тому же учениками самых различных научных руководи­телей), с которыми он считал своим долгом встречаться, когда руководил математической аспирантурой в Московском университете[17]. К этой своей обязанности (как, впрочем, и ко всем другим) Колмогоров относился очень серьезно и ощущал свою личную ответственность за ход научных занятий аспирантов, подведомственных ему, казалось бы, лишь административно. Будучи директором университетского Научно-исследовательского институ­та, он встречался с каждым аспирантом ежемесячно для содержательных бесед по теме диссертации. Вряд ли кто-либо, кроме Колмогорова, мог ре­шиться поставить перед собой такую задачу. Нечего и говорить, какое впе­чатление на аспирантов производили эти встречи и как полезны им были колмогоровские советы.

Колмогоров понимал всех диссертантов и всех оппонентов на заседаниях диссертационных советов. Когда в 1976 году на механико-математическом факультете были созданы диссертационные советы по двум группам мате­матических специальностей, Колмогоров — единственный — стал членом обоих советов.

Колмогоров понимал всех докладчиков, которых ему доводилось слу­шать на всевозможных семинарах и конференциях, в которых он участво­вал. Последняя большая конференция с участием Колмогорова — это двух­дневные научные чтения в Московском университете в апреле 1983 г., по­священные его 80‑летнему юбилею. Колмогоров прослушал все двенадцать сделанных по его приглашению его учениками пятидесятиминутных докла­дов на темы теории динамических систем, механики, теории функций и тео­рии вероятностей. С уходом Колмогорова из жизни многие научные собра­ния как бы поблекли: они потеряли единственного участника, активно и мгновенно понимавшего все, что на них говорилось.

Слушал и читал Колмогоров всегда заинтересованно и проницательно. Он не только быстро схватывал суть и обнаруживал погрешности, но ино­гда видел в докладе или статье такие глубины, которые были неизвестны, а подчас и недоступны, самому автору. «Колмогоров обладал исключитель­ной работоспособностью и навыками чтения рукописей и книг не „построч­но“, а схватывая содержание текста страницы „в целом“, замечая при этом все допущенные автором ошибки и неточности. На вопрос о том, как он до­бился таких возможностей, Андрей Николаевич отвечал кратко: „Нужна большая тренировка“» [39, c. 596].

XI

Колмогоров имел высокие понятия об этике ученого и претворял их в жизнь. Ему были свойственны предельная научная честность и объектив­ность, скромность, отзывчивость и щедрость.

Объективность Колмогорова была особенно заметна на фоне его необы­чайной эмоциональности, даже страстности, в своих собственных ученых занятиях. При этом Колмогоров готов был содействовать исследованиям, не только ему не близким, но даже иногда прямо не симпатичным.

Его скромность проявлялась прежде всего в вопросах собственного при­оритета. У него была всегда на минимуме оценка своего вклада и на макси­муме — вклада конкурента. Впрочем, сам термин «конкурент» здесь мало уместен. Правильнее было бы сказать «коллега по профессии». Дело в том, что Колмогоров никогда не стремился кого-либо опередить. Напротив, он щедро делился своими мыслями.

Мы уже отмечали, что, сформулировав те или иные идеи, Колмогоров, как правило, не занимался их развитием, а переходил к новым областям. То же относится и к математическим результатам. Колмогоров не стремился к рекордам — или если и стремился, то на свой, колмогоровский лад, без чувства соперничества. Совершив решающий прорыв, создав новые мето­ды, преодолев принципиальные трудности, он нередко оставлял продвиже­ние за несколько метров до финишной ленты — ему как бы переставало быть интересно. Слова «как бы» означают нашу неуверенность в истинных мотивах Колмогорова; очевидно лишь, что они заключались не в том, что ему не под силу было пройти то сравнительно небольшое расстояние, кото­рое отделяло его от «рекордной» формулировки. Колмогоров рассматривал математику прежде всего как инструмент познания, как источник радостей и мук творчества — хотя и не отказывался признавать в занятиях математи­кой спортивный элемент. Однако правильно будет сказать, что если он и видел в этих занятиях черты спорта, то такого благородного спорта, как альпинизм, где соперником выступает природа. Повторим то, о чем говори­лось в начале нашего очерка: состязательным спортом Колмогоров не за­нимался никогда.

Самые разные люди обращались к Колмогорову с самыми разными просьбами, и он, как правило, старался помочь. Он также старался, хотя это было и затруднительно, отвечать на многочисленные письма. Р. С. Черка­сов вспоминает о письмах, которые поступали на адрес журнала «Матема­тика в школе»: «Обычно они были адресованы непосредственно Андрею Николаевичу, и долгое время он отвечал на них сам, минуя редакционное оформление. <...> Позднее, когда у А. Н. Колмогорова ослабло зрение <...>, эти письма ему прочитывали, и он тут же диктовал ответ, который мы затем направляли адресату уже обычным для редакционной переписки путем» [39, с. 595]. А ведь по каким только адресам не писали Колмогорову! И на адрес Московского университета, и на адрес Академии наук, и на адрес школы-интерната; немалая доля писем шла к нему непосредственно по его домашнему адресу.

Молодых своих сотрудников Колмогоров, случалось, за свой счет возил на научные конференции, проходившие в других городах. Валютные сред­ства, полученные в связи с присуждением ему в 1963 году международной премии Бальцана[18], он в значительной степени потратил на организацию в Московском университете специализированной библиотеки по теории ве­роятностей и математической статистике и на последующее систематичес­кое снабжение этой библиотеки иностранной литературой. (Надобно при­нять во внимание, что Колмогоров так и не получил от властей права сво­бодно распоряжаться этими средствами, так что каждое их использование — будь то приобретение литературы или покупка лекарств — требовало преодоления бюрократических барьеров, вплоть до получения разрешения у заместителя министра финансов СССР.) Библиотека, существующая и се­годня, когда пишутся эти строки, начала функционировать с начала 1966 года. Еще до ее открытия, в 1964 году, на деньги Колмогорова было закуп­лено много иностранных книг, а оплаченное им поступление иностранных журналов продолжалось с 1967 по 1993 год. До конца своих дней Андрей Николаевич живо интересовался делами библиотеки. Сейчас она представ­ляет собою уникальное собрание специальной литературы по теории веро­ятностей и математической статистике, доступное для пользования всем за­интересованным читателям, начиная со студентов.

Со своими учениками Колмогоров не только делился идеями, не только подсказывал результаты, которые он провидел,— нередко он брал на себя значительную часть труда по редактированию и даже написанию текста статей. Фактически Колмогоров был соавтором многих статей своих учени­ков; однако он, как правило, воздерживался от включения себя в число фор­мальных авторов. Высокое искусство Колмогорова как учителя состояло в умении создать у ученика впечатление, что именно он, ученик, и есть пол­ноценный автор как результата, так и соответствующей публикации.

Традицию индивидуальной работы университетского профессора с уче­никами ввел в московскую (а возможно, и во всероссийскую) математику учитель Колмогорова Николай Николаевич Лузин. Колмогоров унаследовал и развил эту традицию. Как и для Лузина, для Колмогорова было естест­венно встречаться со своими студентами и аспирантами не только в уни­верситетских аудиториях и кабинетах, но и у себя дома (к Лузину ученики приходили имеющими постоянный состав небольшими группами в закреп­ленный за каждой группой день недели; к Колмогорову — без фиксирован­ного расписания). Как и Лузин, Колмогоров общался со своими учениками и на прогулках (в случае Лузина это были короткие прогулки по москов­ским улицам, когда Лузин, окруженный учениками, возвращался из универ­ситетского здания на Моховой в свою арбатскую квартиру; прогулки Кол­могорова со своими учениками были более продолжительны, иногда мно­годневны, и всегда на природе — зимою на лыжах, а летом нередко пешком в горах или на лодке по воде).

Ввиду обычно завышенного мнения Колмогорова о собеседнике обще­ние ученика с Колмогоровым — студента с профессором, аспиранта с на­учным руководителем — иногда бывало затруднительным. Эта затрудни­тельность усугублялась чувством неловкости аспиранта по поводу того, что его великий учитель решаемую им, аспирантом, частную задачу понимал не только глубже аспиранта, что естественно, но и много детальнее, а зачас­тую даже лучше помнил, на чем прервалась предыдущая беседа. При этом случалось, что со своим аспирантом по математической логике и со своим аспирантом по гидромеханике Колмогоров разговаривал практически одно­временно. Сам Колмогоров шутливо говорил в 1983 году, что один из его учеников управляет  атмосферой, а другой — океанами (он имел в виду ди­ректора Института физики атмосферы АН СССР академика А. М. Обухова и директора Института океанологии АН СССР члена-корреспондента А. С. Монина).

XII

Андрей Николаевич Колмогоров не только внес личный уникальный вклад в науку и в распространение знаний. Он также создал одну из круп­нейших в нашей стране научных школ. Среди его учеников мы видим ма­тематиков первой величины, получивших всемирное признание. (Сам Кол­могоров был избран членом практически всех авторитетных научных со­обществ мира.)

Колмогоров дарил окружавшим его людям ни с чем не сравнимое, почти физическое ощущение непосредственного соприкосновения с гением.

Имя Колмогорова стоит в российской науке рядом с именами Ломоносо­ва, Менделеева, Павлова. Он один из тех, кто подвигом своей жизни про­славил Россию. С полным правом Колмогорова можно назвать российским национальным достоянием.

8 февраля 1995 г.; 26 января 1998 г.

Список литературы

1. А. М. Абрамов. О педагогическом наследии А. Н. Колмогорова // Успехи матема­тических наук, 1988, т. 43, вып. 6, с. 39–74.

2. П. С. Александров. Комбинаторная топология. М.; Л.: ОГИЗ, 1947, 660 с. 

3. П. С. Александров. Андрей Николаевич Колмогоров (к шестидесятилетию со дня рождения // Вестник Московского университета. Серия 1. Математика. Механи­ка, 1963, №3, с. 3–6.

4. П. С. Александров. Несколько слов о проблемах Гильберта // [33], с. 7–10.

5. П. Витаньи, М. Ли. Колмогоровская сложность: двадцать лет спустя // Успехи ма­тематических наук, 1988, т. 43, вып. 6, с. 129–166.

6. Возможное и невозможное в кибернетике / Под ред. акад. А. Берга, акад. Э. Кольмана; Сост. В. Д. Пекелис. М.: Издательство АН СССР, 1963, 222 с.

7. И. М. Гельфанд. Учитель и ученик // Известия, 1965, № 95.

8. Д. Гильберт. Математические проблемы // [33], с. 11–64.

9. Ю. Л. Ершов. Теория нумераций. М.: Наука. Физматлит, 1977, 416 с.

10. А. А. Зализняк. Русское именное словоизменение. М.: Наука, 1967, 370 с.

11. Кибернетика ожидаемая и кибернетика неожиданная / Отв. ред. акад. А. Берг, акад. Э. Кольман; Сост. В. Д. Пекелис. М.: Наука, 1968, 311 с.

12. А. Н. Колмогоров. Землевладение в новгородских пятинах XV века; О сборе на­логов и порядке землепользования; Новгородское землевладение XV в. Первая часть; [Новгородское землевладение XV в. Вторая часть] // [27], с. 15–84.

13. А. Н. Колмогоров. О принципе tertium non datur // Математический сборник, 1925, т. 32, № 4, с. 646–667. (Перепечатано в [22], с. 45–69.)

14. А. Н. Колмогоров. [Письмо в редакцию] // Строительство Москвы, 1936, № 19, с. 27.

15. А. Н. Колмогоров. Об одном новом подтверждении законов Менделя // Доклады АН СССР, 1940, т. 27, № 1, с. 38–42. (Перепечатано в [23], с. 209–214.)

16. А. Н. Колмогоров. Математика // Большая Советская Энциклопедия. 2‑е изд. М.: БСЭ, 1954, т. 24, с. 464–483. (Перепечатано почти без изменений в [26], с. 24–85, и, в отредактированном А. П. Юшкевичем виде, в [30], с. 7–38.)

17. А. Н. Колмогоров. Общая теория динамических систем и классическая механи­ка // Proc. Internat. Congress Math. 1954, v. 1, p. 315–333; также в кн.: Труды Меж­дународного математического конгресса, Амстердам, 1954 г.: Обзорные докла­ды. М.: Издательство АН СССР, 1961, с. 187–208. (Перепечатано в [22], с. 316–332.)

18. А. Н. Колмогоров. Автоматы и жизнь: Тезисы доклада // Машинный перевод и прикладная лингвистика, 1961, вып. 6, с. 3–8[19].

19. А. Н. Колмогоров. Автоматы и жизнь // Техника — молодежи, 1961, № 10, с. 16–19; № 11, с. 30–33. (Перепечатано в [6], с. 10–29, в [11], с. 12–31, и, с учетом ис­правлений А. Н. Колмогорова в его предисловии, в [25], с. 43–62.)

20. А. Н. Колмогоров. Жизнь и мышление с точки зрения кибернетики: Тезисы до­клада на объединенной теоретической конференции философских (методологи­ческих) семинаров по философским вопросам кибернетики. М., 1962, 11 с. (Ака­демия наук СССР. Научный совет по философским вопросам естествознания.)

21. А. Н. Колмогоров. Жизнь и мышление как особые формы существования мате­рии // [32], с. 48–57.

22. А. Н. Колмогоров. Избранные труды. Математика и механика. М.: Наука, 1985, 470 с.

23. А. Н. Колмогоров. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: Наука, 1986, 534 с.

24. А. Н. Колмогоров. Теория информации и теория алгоритмов. М.: Наука, 1987, 304 с.

25. А. Н. Колмогоров. Математика — наука и профессия / Сост. Г. А. Гальперин. М.: Наука. Физматлит, 1988, 288 с. (Библиотечка «Квант», вып. 64.)

26. Математика в ее историческом развитии / Под ред. В. А. Успенского; Сост. Г. А. Гальперин. М.: Наука. Физматлит, 1991, 223 с.

27. А. Н. Колмогоров. Новгородское землевладение XV века; Л. А. Бассалыго. Ком­ментарий к писцовым книгам Шелонской пятины / Предисл. В. Л. Янина. М.: На­ука. Физматлит, 1994, 128 с.

28. Колмогоров в воспоминаниях / Ред.-сост. А. Н. Ширяев. М.: Наука. Физматлит, 1993, 734 с.

29. П. С. Кузнецов. Из автобиографических записок // Успехи математических наук, 1988, т. 43, вып. 6, с. 197–208.

30. Математический энциклопедический словарь / Гл. ред. Ю. В. Прохоров. М.: Со­ветская энциклопедия, 1988, 848 с.

31. С. П. Новиков. Воспоминания об А. Н. Колмогорове // Успехи математических наук, 1988, т. 43, вып. 6, с. 35–36.

32. О сущности жизни. М.: Наука, 1964, 351 с.

33. Проблемы Гильберта / Под общ. ред. П. С. Александрова. М.: Наука. Физматлит, 1969, 239 с.

34. В. А. Успенский. Системы перечислимых множеств и их нумерации // Доклады АН СССР, 1955, т. 105, № 6, с. 1155–1158.

35. В. А. Успенский. К определению падежа по Колмогорову // Бюллетень Объеди­нения по проблемам машинного перевода. М., 1957, № 5, с. 11–18. (Первый мос­ковский гос. педагогич. ин‑т иностр. языков.)

36. В. А. Успенский. Серебряный век структурной, прикладной и математической лингвистики в СССР и В. Ю. Розенцвейг: Как это начиналось (заметки очевид­ца) // Wiener slawistischer Almanach, 1992, Sonderband 33, S. 119–162.

37. В. А. Успенский. Колмогоров, каким я его помню // [28], с. 280–384.

38. В. А. Успенский. Предварение для читателей «Нового литературного обозрения» к Семиотическим посланиям Андрея Николаевича Колмогорова // Новое литера­турное обозрение, 1997, № 24, с. 122–215[20].

39. Р. С. Черкасов. Колмогоров и школьное математическое образование // [28], c. 583–604.

40. А. М. Яглом. Турбулентность // [22], с. 421–433.

41. В. Л. Янин. Колмогоров как историк // Успехи математических наук, 1988, т. 43, вып. 6, с. 189–195.

42. В. Л. Янин. Предисловие к кн. [27], с. 3–14.

43. R. Abraham, J. E. Marsden. Foundations of Mechanics. 2nd ed. Reading, Mass.: The Benjamin/Cummings Publ. Co., 1978, XII + m. XVI + 806 p.

44. A. Kolmogoroff. Une sйrie de Fourier — Lebesgue divergente presque partout // Fun­damenta mathematicae, 1923, t. 4, p. 324–328. (Рус. перевод: Ряд Фурье — Лебега, расходящийся почти всюду // [22], с. 8–11.)

45. A. N. Kolmogorov. On the principle of excluded middle // [49], p. 416–437. (Перевод с рус. на англ. статьи [13].)

46. A. N. Kolmogorov. The general theory of dynamical systems and classical mechan­ics // [43], p. 741–757. (Перевод с рус. на англ. статьи [17].)

47. M. Li, P. Vitбnyi. An Introduction to Kolmogorov Complexity and Its Applications. Berlin; New York; Heidelberg: Springer Verlag, 1993, XIII + 546 p.

48. V. A. Uspensky. Kolmogorov and mathematical logic // Journal of Symbolic Logic, 1992, v. 57, No. 2, p. 385–412.

49. J. van Heijenoort. From Frege to Gцdel. A Source Book in Mathematical Logic, 1879–1931, Cambridge, Mass.: Harvard University Press, 1967, XII + 660 p.

50. O. Watanabe (ed.). Kolmogorov Complexity and Computational Complexity // Berlin, New York, Heidelberg: Springer-Verlag, 1992, 105 p.